[Amesim] Simcenter ROM 기능을 이용한 이중진자의 시뮬레이션, 기능 소개

 

 1. ROM Builder 를 이용한 주파수 응답 적용 사례 

 제품 및 시스템의 동적 거동을 정확하게 예측하기 위해서는 다양한 운전 조건과 주파수 영역에서의 응답 특성을 분석하는 과정이 중요합니다. 그러나 상세한 물리 모델이나 고차원 CAE 모델은 높은 정확도를 제공하는 반면, 많은 상태 변수와 복잡한 연산으로 인해 반복 해석이나 시스템 수준의 시뮬레이션에서 상당한 계산 시간이 요구될 수 있습니다. 

 Simcenter ROM Builder(Reduced Order Modeling)은 이러한 고차원 모델의 주요 동적 특성을 유지하면서 모델의 차수(Order)를 감소시켜, 계산 효율이 높은 Reduced Order Model(ROM)을 생성할 수 있도록 지원합니다. 생성된 ROM은 원본 모델보다 적은 상태 변수와 계산 자원을 사용하면서도 관심 영역에서 원본 시스템의 주요 응답특성을 재현하는 것을 목적으로 합니다. Siemens 에서는 ROM을 고충실도 시뮬레이션 또는 시험 데이터로부터 생성하고 검증하여 시스템 시뮬레이션, Co-Simulation 및 Digital Twin과 같은 분야에 활용할 수 있도록 제공하고 있습니다. 

 이 과정에서 Frequency Response는 원본 모델과 축소 모델이 주파수 변화에 따라 나타내는 동적 응답을 비교하여 ROM의 정확도와 적용 가능한 주파수 범위를 평가하는 중요한 기준으로 활용됩니다. 특히 사용자가 관심을 가지는 주파수 영역에서 ROM이 원본 모델의 응답 특성을 얼마나 잘 유지하는지를 확인함으로써, 모델 차수 감소에 따른 정확도 손실과 계산 효율 사이의 적절한 균형을 판단할 수 있습니다. 실제 Simcenter Reduced Order Modeling의 적용 사례에서도 Frequency Response Plot을 이용하여 ROM 이 원본 모델의 관심 주파수 대역을 충분히 재현하는지 검증한 후 축소 모델을 시스템 시뮬레이션에 적용하는 방식이 사용됩니다. 

 따라서, Simcenter ROM Builder 의 Frequency Response 기능을 활용하면 원본 모델와 ROM의 동적 특성을 주파수 영역에서 비교 및 검증하고, 목적에 적합한 ROM의 차수와 유효 주파수 범위를 선정할 수 있습니다. 이를 통해 복잡한 모델의 핵심 동특성을 유지하면서 계산 부하를 감소시켜 시스템 시뮬레이션, 제어 시스템 개발 및 Digital Twin 구축 등의 후속 활용에서 보다 효율적인 해석 환경을 구성할 수 있습니다. 

Figure 1 Simcenter ROM 의 Frequency Response 기능

 2. 이중진자의 차수축소 모델링 방법 소개

 Simcenter ROM Builder의 Frequency Response 기능을 이용하여 이중진자에 대한 복잡한 동역학방정식을 차수축소 하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 먼저 이중진자는 아래 그림과 같이 비선형성이 매우 높은 모델입니다. 이 비선형 모델을 단순한 선형 모델로 차수축소하기 위해서 미소각의 움직임이 전제되어야 합니다. 미소각의 운동에 대해 임펄스 하중이 작용할 때, 진자의 운동은 아래 그림과 같이 표현이 됩니다. 

Figure 2 이중진자 동역학 모델에 대한 선형화 과정

Figure 3 진자의 끝단에 임펄스가 가해졌을 때, 이중진자의 미소각 운동

 이중진자의 운동은 두 개의 질량과 링크가 서로 연결되어 있기 때문에 각 진자의 운동이 독립적으로 발생하지 않고 서로 영향을 주는 연성(coupling) 시스템의 형태로 나타납니다. 본 예제에서는 각 질량을 2kg, 각 링크의 길이를 0.5m 로 설정하였으며, 이러한 이중진자 시스템의 동적 거동을 보다 효과적으로 분석하기 위해 모드해석(Modal Analysis)을 수행할 수 있습니다. 

 일반적으로 이중진자의 운동방정식을 물리 좌표계에서 구성하면 각 진자의 변위가 서로 연관된 형태의 연립 미분방정식으로 표현됩니다. 즉, 한쪽 진자의 운동이 다른 진자의 운동에 영향을 주기 때문에 각각의 운동방정식을 개별적으로 해석하기가 어렵습니다. 이러한 연성된 운동방정식은 질량행렬(Mass Matrix)과 강성행렬(Stiffness Matrix)을 이용하여 시스템의 동적 특성을 표현할 수 있으며, 모드해석을 수행하면 시스템 고유의 고유진동수(Natural Frequency)와 모드형상(Mode Shape)을 구할 수 있습니다.

 모드해석의 가장 중요한 목적은 이와 같이 서로 연성되어 있는 운동방정식을 모드 좌표계(Modal Coordinate System)으로 변환하여 각각 독립된 미분방정식으로 분리하는 것입니다. 각 모드형상은 시스템의 고유한 진동 패턴을 의미하며, 모드형상 행렬을 이용하여 기존의 물리 좌표계에서 정의된 운동방정식을 모드 좌표계로 변환하면 서로 영향을 주던 자유도들이 각 모드 별로 분리됩니다. 이에 따라 복잡한 다자유도 시스템의 운동을 여러 개의 단순한 1자유도 시스템 문제로 나누어 해석할 수 있습니다.

 모드 좌표계에서 분리된 각각의 운동방정식은 서로 독립적으로 계산할 수 있으므로 해석 과정이 매우 단순해집니다. 각 모드에 대한 시간응답을 개별적으로 계산한 후, 중첩의 원리(Superposition Principle)를 적용하여 각 모드의 응답을 조합하면 전체 시스템의 동적 응답을 구할 수 있습니다. 특히 선형 시스템에서는 전체 운동이 여러 고유모드의 조합으로 표현될 수 있기 때문에, 전체 자유도를 직접 계산하는 방식보다 모드해석을 이용하는 방식이 시스템의 운동 특성을 이해하는 데 효과적입니다.

 다만 모드 좌표계에서 계산된 결과는 실제 구조물이나 기구가 움직이는 물리적인 변위를 직접 나타내는 것이 아닙니다. 따라서 각 모드에 대해 계산된 모드 좌표 응답에 모드형상을 다시 적용하여 물리 좌표계(Physical Coordinate System)로 변환하는 과정이 필요합니다. 이러한 변환 과정을 통해 첫 번째 진자와 두 번째 진자의 실제 회전각, 변위 및 시간에 따른 운동을 재구성할 수 있으며, 결과적으로 실제 이중진자가 움직이는 물리적 거동을 재현할 수 있습니다. 

 따라서 이중진자에 대한 모드해석의 전체 과정은 물리 좌표계에서 연성된 운동방정식을 구성한 후, 고유치 해석을 통해 고유진동수와 모드형상을 계산하고, 이를 이용하여 모드 좌표계로 변환하여 독립된 운동방정식을 해석한 뒤, 각 모드의 응답을 중첩하고 다시 물리 좌표계로 변환하는 과정으로 정리할 수 있습니다. 이러한 접근 방법은 이중진자와 같은 다자유도 시스템뿐만 아니라 구조물, 기계 시스템 및 유한요소모델의 진동 해석에서도 널리 사용되며, 복잡한 시스템의 동적 특성을 효율적으로 분석할 수 있다는 장점이 있습니다. 

Figure 4 이중진자에 대한 운동방정식

 3. 이중진자의 Frequency Response 실험 

 아래 그림은 이중진자 시스템의 동적 특성을 파악하기 위한 FRF, 즉 주파수 응답함수(Frequency Response Function) 실험의 개념을 나타냅니다. 

 이중진자는 두 개의 질량 m1, m2 가 서로 연결되어 있기 때문에 하나의 위치에 외력이 가해지더라도 해당 위치에서만 진동이 발생하는 것이 아니라, 두 질량의 운동이 서로 연성되어 동시에 응답하게 됩니다. 따라서 시스템의 동적 특성을 정확하게 확인하기 위해서는 입력 위치와 응답 위치를 조합하여 각각의 FRF를 확인해야 합니다.

 FRF는 기본적으로 특정 위치에 가해진 입력 하중에 대해 다른 위치에서 나타나는 응답의 비를 주파수 영역에서 표현한 값입니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다. 

 여기서 j는 하중을 입력하는 위치, i는 응답을 측정하는 위치를 의미합니다. 

 아래 그림의 오른쪽과 같이 첫 번째 질량 m1에 임펄스 하중을 가하는 경우를 생각할 수 있습니다. 이때, m1 위치에서 측정되는 응답은 H11, 두번째 질량 m2 위치에서 측정되는 응답은 H21 으로 정의할 수 있습니다. 

 즉, H11은 첫 번째 질량에 입력을 가했을 때, 같은 위치인 첫 번째 질량에서 나타나는 Driving Point FRF 이며, H21은 첫 번째 질량의 입력이 두 번째 질량의 운동으로 어떻게 전달되는지를 나타내는 Transfer FRF 입니다.

 반대로 그림의 왼쪽과 같이 두 번째 질량 m2 에 임펄스 하중을 가하면, 첫 번째 질량에서 측정되는 응답은 H12, 두 번째 질량에서 측정되는 응답은 H22 가 됩니다. 이 경우 H22는 두 번째 질량 위치의 Driving Point FRF 이고, H12는 두 번째 질량의 가진이 첫 번째 질량에 전달되는 특성을 나타내는 Transfer FRF 입니다. 

 따라서 이중진자와 같이 2개의 주요 자유도를 갖는 시스템에서는 다음과 같이 총 4개의 FRF를 하나의 행렬로 구성할 수 있습니다. 

Figure 5 가진점과 응답점에 따른 주파수 응답함수 계산 

 각 위치에서 임펄스 입력을 가하고 시간 영역에서 발생하는 응답을 측정한 후, 이를 FFT를 이용하여 주파수 영역으로 변환하면 이러한 FRF를 계산할 수 있습니다. 

 계산된 FRF에서 나타나는 공진 주파수의 Peak는 시스템의 고유진동수와 밀접한 관계가 있으며, 각 위치에서 나타나는 응답의 크기와 위상 관계를 비교하면 각 고유진동수에서 두 질량이 어떠한 형태로 움직이는지, 즉 시스템의 모드형상(Mode Shape) 도 확인할 수 있습니다.

 결국 이 실험의 목적은 단순히 특정 하중에 대한 변위를 확인하는 것이 아니라, 여러 위치에서 입력과 응답 사이의 관계를 FRF 형태로 구성함으로써 이중진자의 고유진동수, 모드형상, 공진 특성 및 질량 간의 동적 연성 관계를 파악하는데 있습니다. 

 이렇게 확보한 FRF는 이후 Full Model의 동특성과 ROM 모델의 동특성을 비교하는 기준으로 사용할 수 있으며, ROM 이 원래 시스템의 주요 고유진동수와 응답 특성을 얼마나 정확하게 재현하는지를 검증하는데 활용할 수 있습니다. 

Figure 6 실험으로 계산한 주파수 응답함수

 4. ROM Builder 를 이용한 이중진자의 차수축소 모델 구축 

 앞에서는 이중진자 시스템에 임펄스 하중을 입력하여 각 위치에서의 응답을 계산하고, 이를 통해 H11, H12, H21, H22와 같은 주파수 응답함수, 즉 FRF 데이터를 구성하였습니다.

 다음 단계에서는 이렇게 확보한 FRF 데이터를 이용하여 Simcenter Reduced Order Modeling 에서 PolyMax 기반의 차수축소 모델을 생성합니다. 

 먼저 첫 번째 화면과 같이 계산된 FRF 데이터를 Simcenter ROM으로 입력합니다. 이때 실제 시스템에서 가진력이 입력되는 채널은 Input으로 지정하고, 해당 가진에 의해 발생하는 가속도나 변위 등의 응답 채널은 Output으로 지정합니다.

 즉, 앞에서 설명한 이중진자의 FRF 관계로 생각하면 입력 F_j 에 해당하는 가진 채널이 ROM의 Input 이 되고, X_i 에 해당하는 응답 채널들이 ROM의 Output 이 됩니다. 따라서 Simcenter ROM 은 단순한 하나의 응답값을 학습하는 것이 아니라, 입력과 출력 사이에 존재하는 주파수 영역의 동적 전달 특성을 기반으로 시스템을 모델링하게 됩니다.

 이후 ROM 생성 방법으로 PolyMax를 선택합니다. PolyMax는 원본 FRF에 포함되어 있는 공진 특성을 분석하여 시스템의 주요 동적 특성을 표현할 수 있는 저차 모델을 구성하는 방식입니다. 특히 FRF에 나타나는 공진주파수, 감쇠 특성 및 각 Input과 Output 사이의 동적 관게를 이용하여 원래 시스템을 보다 적은 차수의 모델로 표현하게 됩니다. 

 이 과정에서 중요한 설정값이 Maximum Order 와 Frequency Range 입니다.

 Maximum Order 는 PolyMax가 시스템의 동특성을 표현하기 위해 고려할 수 있는 모델의 최대 차수를 의미합니다. 너무 낮은 차수를 사용하면 중요한 공진 특성을 충분히 표현하지 못할 수 있으며, 반대로 지나치게 높은 차수를 사용하면 ROM을 생성하는 목적에 비해 불필요하게 복잡한 모델이 만들어질 수 있습니다. 

 또한 Minimum Frequency 와 Maximum Frequency를 이용하여 ROM이 재현해야 하는 관심 주파수 영역을 설정합니다. 즉, 전체 주파수 영역을 모두 동일하게 고려하는 것이 아니라 실제 시스템에서 중요하게 판단되는 동적 거동이 포함된 영역을 지정하고, 해당 범위의 FRF를 중심으로 저차 모델을 생성합니다. 

 설정이 완료되면 PolyMax를 이용하여 모델을 계산합니다. 이 과정의 핵심은 원본 시스템이 가지고 있는 모든 자유도와 내부 상태를 그대로 유지하는 것이 아니라, FRF를 재현하는 데 중요한 지배적인 동특성만을 추출하여 보다 작은 규모의 동적 모델로 표현하는 것입니다.

 따라서 원래의 Full Order Model이 매우 많은 자유도나 상태변수를 가지고 있더라도, ROM에서는 관심 주파수 영역의 주요 동특성만 유지하여 계산량을 크게 줄일 수 있습니다. 

 두 번째 화면은 이렇게 생성한 Reduced Order Model과 원본 Full Order Model의 FRF를 비교한 결과입니다.

 상단의 Gain 그래프에서는 주파수에 따른 응답의 크기를 비교하고, 하단의 Phase 그래프에서는 주파수에 따른 위상 특성을 비교합니다. 여기서 Full Order Model 과 Reduced Order Model의 곡선이 거의 동일하게 나타난다면, 차수를 축소했음에도 불구하고 원래 시스템의 주파수 응답 특성을 잘 보존하고 있다고 판단할 수 있습니다. 

 특히 공진 Peak의 위치와 크기뿐만 아니라 Phase 변화까지 함께 비교하는 것이 중요합니다. 공진 Peak의 위치가 일치한다는 것은 주요 고유진동수 특성이 유지되고 있다는 의미이고, Gain과 Phase 가 전체적으로 잘 일치한다는 것은 Input과 Output 사이의 동적 전달 특성이 ROM에서도 적절하게 재현되고 있다는 것을 의미합니다. 

 또한 화면 하단의 Fidelity Index 를 이용하여 Full Order Model과 Reduced Order Model 사이의 일치도를 정량적으로 확인할 수 있습니다. 본 예제에서는 약 99% 수준의 높은 Fidelity 가 나타나고 있기 때문에, 생성된 PolyMax ROM이 원본 FRF 특성을 매우 유사하게 재현하고 있다고 평가할 수 있습니다. 

Figure 7 Simcenter ROM 에서 작업한 Frequency Response

 5. 해석 결과 및 결론 

 이번 사례를 통해 FRF 데이터를 기반으로 원본 시스템의 주요 동특성을 유지하면서 모델의 차수를 감소시키는 Simcenter ROM의 기본적인 활용 방법을 확인할 수 있었습니다. ROM을 이용하면 복잡한 고차원 모델을 그대로 반복 계산하는 대신, 관심 영역의 주요 거동을 유지하는 상대적으로 단순한 모델을 활용할 수 있기 때문에 반복 해석이나 시스템 수준의 시뮬레이션에서 계산 효율을 높이는 데 활용할 수 있습니다. 또한 생성된 ROM은 향후 시스템 시뮬레이션, Co-Simulation, 제어 시스템 개발 및 Digital Twin과 같이 반복적인 계산이나 빠른 응답이 요구되는 환경에서도 활용할 수 있습니다.

 다만 본 예제의 이중진자 모델은 미소각 운동을 전제로 선형화한 모델이며, ROM 역시 설정한 관심 주파수 영역을 중심으로 생성되었습니다. 따라서 실제 적용 시에는 시스템의 비선형성이 크게 발생하는 운전 조건이나 ROM을 생성할 때 고려하지 않은 주파수 영역까지 동일한 정확도가 보장된다고 보기 어렵습니다. 적용 목적에 따라 유효 주파수 범위와 Full Order Model 대비 Fidelity를 충분히 검증한 후 ROM을 사용하는 것이 중요합니다.

 이번 이중진자 사례는 비교적 단순한 2자유도 시스템을 대상으로 하였지만, 동일한 접근 방법을 보다 복잡한 기계 시스템이나 대규모 CAE 모델로 확장할 경우 차수축소 모델의 활용 효과를 더욱 크게 기대할 수 있습니다.