반응표면법 (Response Surface Methodology)

반응표면법은 여러 요인(독립변수)과 반응(종속변수) 사이의 관계를 곡면(2차/3차)로 모델링하여 최적 조건을 찾는 실험계획법(DOE) 기반 최적화 기법입니다. 중심합성계획 Box-Behnken 등 설계로 실험을 체계적으로 수행한 뒤, 등고선/3D 표면을 해석해 최적점을 도출합니다.

1. 핵심 개념

- RSM은 반응값 지도를 등고선 또는 3차원 표면으로 표현해 최적화에 활용

- 2수준 설계만으로는 곡률을 잘 잡기 어려워 중앙점을 추가해 곡률 존재를 탐지

2. 대표 설계

- 중심합성계획법은 중앙점이 있는 요인/부분 요인 설계에 축점을 추가해 곡면성을 추정하고 최적화를 확장

- Minitab 예시에서는 3개 요인, 20개 런, 2개 블록으로 설계를 생성하고 요인 수준을 랜덤화해 수집 순서를 결정

펌프의 성능곡선을 통한 예시

펌프의 성능곡선을 예로들어 반응표면법을 설명하겠습니다. 펌프의 성능곡선은 펌프 입구로 흡입하는 유량과 수두손실에 따른 압력강하로 표현할 수 있습니다. 이 곡선은 2차 함수로 표현할 수 있으며, 또한 펌프 날개의 회전속도에 따라 그 특성이 달라집니다. 따라서 펌프의 압력강하를 표현하는 커브는 펌프의 흡입 유량과 날개의 회전속도의 두 가지 독립변수로 표현이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

이것을 수식으로 표현하면 아래 함수와 같습니다. 이때, 날개의 회전속도도 다음과 같이 2차 함수로 표현이 가능하며 a, b, c 를 S의 함수로 치환하면 최종적인 압력강하를 표현하는 반응표면 함수를 작성할 수 있습니다.

냉각탑 입구와 출구에서 공기의 온도

냉각탑 제조업체들은 흔히, 주위 공기의 습구온도(wet-bulb temperature)와 레인지(range)의 함수로서 출구수 온도(outlet-water temperature)를 나타내는 카탈로그 데이터를 제시합니다. 여기서 레인지는 물의 입구 온도와 출구 온도의 차이입니다.

예를 들어 표 4.2에서, 습구온도가 20°C이고 레인지가 10°C일 때, **배출되는 물(출구수)**의 온도는 25.9°C입니다. 따라서 **들어오는 물(입구수)**의 온도는

25.9 + 10 = 35.9°C가 됩니다.

(표 4.2에 있는 출구수 온도 t를 **습구온도(WBT)**와 **레인지 R**의 함수로 표현하시오.)

앞에서의 방법으로 커브피팅하여 반응표면함수를 작성하면 아래와 같습니다.

반응표면함수는 온도를 종속변수로 하고, 독립변수는 R과 WBT 로 갖고 있으며

민감도는 독립변수의 기울기가 높은 것이 크다고 할 수 있습니다. 아래 표면에서는 R보다 WBT 의 변화에 따른 기울기가 높게 나타나기 때문에 WBT의 민감도가 더 크다고 할 수 있습니다.

<매틀랩 코드>

WBT=linspace(10,30,10);

R=linspace(5,25,8);

[X, Y]=meshgrid(WBT,R);

T=(15.25+0.33*X+0.0074*X.^2)+(0.72-0.051*X+0.001*X.^2).*Y+...

(0.004)*Y.^2;

surf(X,Y,T)

민감도를 고려한 최적화 예시

컴퓨터 본체의 냉각을 위해 통풍구의 위치를 최적화하는 예를 알아보겠습니다.

통풍구의 위치를 변수로 하여 15가지 Design case를 스터디 합니다. 이때, 본체 내부의 최고 온도를 목적함수로 하여 최고 온도를 가장 낮게 하는 파라미터를 찾는 것이 본 최적화의 목표라고 할 수 있습니다. 본 예제에서는 최고 온도가 떨어지는 파라미터를 찾는 것을 목적으로 하지만, 이와 동시에 각 파라미터가 온도에 미치는 민감도도 계산을 수행합니다.

디자인 스터디를 통해 다음과 같은 해석 케이스가 설계 목적에 가장 부합하였습니다.

그리고, 이때 민감도 함수도 동시에 산출할 수 있었습니다. 목적함수는 각각 정압(Static Pressure)와 온도(PSU Temperature) 하였으며, 목적함수에 영향을 줄 수 있는 설계변수와 그 기울기를 확인하였습니다. 따라서 반응표면법을 이용하여 최적화를 수행하면, 설계변수 뿐만 아니라 그 민감도까지 동시에 확인할 수 있는 장점이 있습니다.