[HEEDS] 근사모델 기반의 최적화 vs. 직접 검색 기반의 최적화

 

최적화 기법의 중요성

 최적화는 다양한 산업 분야에서 설계의 성능을 개선하고 자원을 효율적으로 활용하는 데 필수적인 과정입니다. 특히, 복잡한 공학 문제나 다목적 설계에서 최적화는 품질 향상과 비용 절감을 동시에 달성하는 핵심 도구로 활용됩니다. 현대 산업에서는 제품 개발 주기의 단축과 고성능 요구가 증가함에 따라, 신뢰성 있는 최적화 기법의 선택이 더욱 중요해지고 있습니다. 근사모델 기반 최적화와 직접 검색 기반 최적화는 이러한 요구를 충족하기 위해 자주 사용되며, 각 접근법은 문제의 특성과 목표에 따라 상이한 성능을 보입니다. 

근사모델 기반 최적화와 직접 검색 기반 최적화의 개요

 근사모델 기반 최적화는 복잡한 시뮬레이션이나 계산 비용이 큰 문제에서 실험 데이터를 바탕으로 근사함수를 생성한 후, 해당 함수를 활용해 최적해를 탐색하는 방법입니다. 근사함수를 생성하기 위해서는 주로 반응표면법(RSM), 머신러닝 모델 등이 사용되며, 계산 자원을 절감하고 빠른 최적해 도출이 가능하다는 장점이 있습니다. 반면, 모델 정확도에 따라 해의 품질이 좌우되고, 고차원 문제에서 모델링이 어려울 수 있습니다.

 직접 검색 기반 최적화는 목적 함수의 수학적 형태를 몰라도 입력과 출력 간 관계를 직접 탐색하며 최적해를 구하는 방법입니다. 비선형성이나 불연속성이 있는 문제에도 적용할 수 있는 장점이 있지만, 계산 비용이 크고 수렴 속도가 느릴 수 있어서 고비용 시뮬레이션 환경에서는 활용에 한계가 있을 수 있습니다.

 이번 연재에서는 Siemens의 Simcenter HEEDS를 사용하여 근사 및 직접 최적화를 진행하는 과정들을 살펴보겠습니다.

최적화를 위한 예제

 이전 연재에서 사용한 외팔보의 처짐 문제를 사용하겠습니다. 

 외팔보의 체적을 최소화하는 최적화 문제를 아래와 같이 정의하였습니다. 빠른 계산을 위해 Python으로 계산합니다.

 목적함수:

● 외팔보 H빔의 체적을 최소화

 제약 조건:

● 최대 굽힘 응력(σ) ≤ 200 MPa

● 최대 끝단 처짐(δ) ≤ 2 mm

 설계 변수:

● Length: 5,000 mm

● Load P: 6,500 N

● E: 200 MPa

● H: 50 mm ≤ H ≤ 100 mm

● h1: 5 mm ≤ h1 ≤ 30 mm

● b1: 50 mm ≤ b1 ≤ 100 mm

● b2: 5 mm ≤ b2 ≤ 50 mm

 외팔보의 체적, 응력, 처짐량은 아래의 관계식으로 계산합니다. 

● Volume = [2*h1*b1 + (H – 2*h1)*b2]*L 

● Stress = P*L*H/(2*I) 

● Deflection = P*L3/(3*E*I) 

- where: I = 1/12*b2*(H-2*h1)^3 + 2*[1/12*b1*h13 + b1*h1*(H-h1) 2/4]

HEEDS 기본 설정

 Python portal을 사용하여 예제의 Input/Output file을 등록하였습니다. 

근사모델 기반의 최적화

 근사모델은 보통 실험계획법(Design of Experiments, DOE)을 통해 얻은 데이터를 바탕으로 생성됩니다. 

 예를 들어서 설계변수 X1, X2에 대해서 두 변수 값을 변경할 수 있는 최소~최대 값의 범위를 설계영역으로 정의하고 X, Y 조합을 32개를 생성하면 아래 그림과 같이 생성될 수 있습니다. 

 그리고 X1, X2의 입력 값과 계산된 결과 값들을 Regression 또는 Interpolation, 최근에는 인공신경망과 같은 다양한 방법으로 근사모델을 생성하고 그 관계를 3차원 반응표면으로 표현하면 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. 

 근사모델에 입력 값을 넣으면 결과 값을 빠르게 구할 수 있습니다. 이렇게 근사모델 위에서 최적화의 목표 값을 검색하는 알고리즘을 실행하여 전역 또는 국부 영역을 검색하는 과정을 표현하면 아래 그림과 같습니다.

 근사모델 기반의 최적화법에 대한 장점은 고비용 시뮬레이션을 반복적으로 수행하는 대신, 근사모델을 활용해 계산 부담을 크게 줄일 수 있는 것에 있습니다. 하지만 주의해야 할 사항들도 존재합니다.

 아래 그림과 같이 X 변수 값 변화에 따른 Real function의 곡선이 있습니다. 그리고 Real function을 예측하기 위해 실험계획법으로 생성된 5개의 데이터를 기반으로 Interpolation model을 사용하여 생성한 근사모델의 곡선이 있습니다. 

 근사모델의 품질은 최적해의 정확성에 큰 영향을 미치며, 부정확한 모델은 잘못된 결과를 초래할 수 있습니다. 또한 변수의 수가 많아질수록 고차원 문제가 되어서 신뢰도 높은 근사모델 생성이 어려워지므로 신뢰성 있는 근사모델 생성을 위해 충분한 초기 샘플링이 필요하게 되어서 결국은 초기 샘플링과 계산 단계에서 시간이 많이 소요되고 계산 비용이 증가합니다.

Adaptive Sampling 기능으로 근사모델 생성 방법

 이전 연재에서 우리는 이미 Simcenter HEEDS의 Adaptive Sampling에 대해 살펴 보았습니다. 이 기능은 근사모델을 더 잘 만들기 위한 고급 기능입니다. 아래 그림과 같이 응답의 변화가 큰 곳은 더 많이, 변화가 적은 곳은 더 적게 sampling하는 전략을 동적으로 조정하여 설계 성능에 가장 큰 영향을 미치는 영역에 집중할 수 있도록 합니다. 

 Adaptive Sampling의 특징은 다음과 같습니다.

● Adaptive Sampling은 설계 공간 내에서 샘플링 전략을 실시간으로 조정하여, 관심 영역에 대한 효율적인 탐색을 가능하게 합니다.

● 초기 디자인 세트가 제공되지 않으면, Latin Hypercube 방법을 사용하여 초기 디자인 세트를 생성합니다. 이후 탐색 주기는 여러 알고리즘의 조합을 통해 진행됩니다.

● Adaptive Sampling은 지역적 특성, 전역적 탐색, 그리고 대리 모델을 통한 오차 감소를 위한 알고리즘을 조합하여 사용합니다. 각 알고리즘의 비중은 탐색 주기에 따라 조정됩니다.

● Adaptive Sampling은 전통적인 DOE 방법보다 더 빠르게 수렴하며, 설계 공간의 정밀한 근사모델 생성을 지원합니다. 이는 특정 영역에서의 복잡한 반응을 효과적으로 다루는 데 유용합니다.

 근사모델 기반의 최적화를 위해 신뢰도 높은 근사모델을 만들어보겠습니다. Study type을 Adaptive Sampling으로 설정하고 Sampling Strategy는 Balance local and global accuracy를 선택하였습니다. 예제에서는 150개의 데이터를 생성하였습니다.

 아래와 같이 150개를 모두 계산하고 Parallel Data를 보면, 입력변수 범위 안에서 균일하게 sampling 되었습니다. 

 HEEDS Post 환경에서 아래 그림과 같이 Create Surrogate 기능으로 근사모델을 생성할 수 있습니다.

 근사모델 생성 옵션으로는 All Design Set, Kriging, Gaussian, 1st Order, Precise Kriging으로 설정하였습니다. 생성된 근사모델(Surrogate model)을 기반으로 3D Response Surface 결과항목을 생성합니다.

 Kriging으로 생성된 근사모델에 설계 변수 H, h1과 Stress를 반응표면으로 출력하면 아래와 같습니다.

 우리가 근사모델 생성을 위한 옵션을 선택할 때는 주의해야 합니다. 아래 그림과 같이 동일한 데이터를 사용하더라도 Least squares, kriging, RBF model 마다 생성된 결과가 다릅니다. 그래서 신뢰도 높은 근사모델 생성을 위한 충분한 샘플링이 필요하고, 근사모델 생성 옵션을 다르게 설정하면서 예측 오류가 낮은 옵션을 설정하는 반복 검증 과정이 필요합니다. HEEDS에서는 Best Fine Surrogate 기능을 이용하여 근사모델 생성 옵션의 비교 탐색을 통해 예측 오류가 가장 낮은 조건에서 근사모델을 생성할 수 있습니다.

 우리가 앞에서 신뢰할 수 있는 근사모델을 생성하였다면, 이어서 근사모델을 기반으로 목적함수를 최적화하는 근사최적화법에 대한 설정을 진행할 수 있습니다.

 아래와 그림과 같이 “Create surrogate-based study”를 선택하여 새로운 Study를 생성합니다.

 HEEDS Menu tab > Parameters > RS Model 기능을 선택하고 새로 생성된 Response parameter(RSM) 항목에는 오른쪽 설정메뉴에서 “Reference surrogate model in existing study” 항목에 이전 단계에서 생성한 근사모델을 선택합니다.

 목적함수에는 근사모델의 Response parameter를 설정하여 값이 최소가 되는 조건을 검색하도록 설정하였습니다.

 위와 같은 과정으로 최적화 검색을 진행하면 근사모델에 기반하여 검색하기 때문에 예제에서는 소요시간 17초로 매우 빠른 시간에 목적함수를 충족하는 결과를 확인할 수 있습니다.

직접 검색 기반의 최적화

 HEEDS의 SHERPA는 직접 검색 최적화법을 기반으로 합니다. 앞에서 근사모델을 생성할 때 Adaptive Sampling에서 설정한 실험계획법 샘플링 150회를 SHERPA에서도 동일하게 설정하였고 목적함수와 제약조건도 동일하게 설정하였습니다.

결과 비교

 근사모델 기반의 최적화와 직접 검색 최적화의 결과를 아래 표와 같이 비교하였습니다.

 예제로 사용한 외팔보의 처짐 문제는 제약조건을 충족하면서 체적을 최소화하는 것이었습니다. 동일한 실험계획법 개수를 사용하였음에도 불구하고 근사모델 기반의 최적화는 Adaptive Sampling을 사용하면서 근사모델의 신뢰성 개선화 과정이 내부적으로 진행되어서 상대적으로 소요시간이 더 길어졌습니다. 목적함수인 최소 체적 결과도 근사모델의 결과가 상대적으로 더 나쁘게 확인되었습니다. 이 결과가 좋고 나쁨을 논의하기 이전에, 근사최적화 결과는 근사모델에 의한 값이므로 반드시 실제 계산을 진행하여 검증된 값을 확인해야 합니다. 아래 표에서 Stress와 Deflection 항목에 (괄호)의 값은 근사최적화 결과의 설계변수 값을 예제의 파이썬 코드에 입력하여 실제 계산된 결과 값입니다. 근사모델에 의해서 체적 값은 오차가 없었지만 Stress와 Deflection은 실제 값과 예측 값에 오차가 발생합니다. 실제 값은 제약조건의 경계에서 많이 벗어난 영역에 존재하므로 근사최적화의 검색 과정이 비교적 부정확하고 효율적이지 않았다고 볼 수 있습니다.

 반면에 직접 검색 최적화 결과는 입력 값의 실제 결과 값이므로 근사최적화 결과와 같이 검증할 필요가 없는 실제 값이라서 결과를 그대로 신뢰할 수 있습니다.

	근사모델 기반의 최적화		직접 검색 최적화
	Adaptive Sampling	RSM based SHERPA	SHERPA
실험계획법 개수	150개	-	150개
Max. 최적화 검색	-	150회	150회
Best Design 검색	-	61회	60회
소요 시간	1분 27초	17초	57초
Best Volume	-	1.2475e+07	1.1762e+07
Stress	-	199.79 (188.17)	198.79
Deflection	-	0.1654 (0.1568)	0.1656
Ht	-	100	100
H1	-	10.5	9.75
B1	-	100	100
B2		5	5

 각각의 최적화법은 개발된 배경과 장단점, 그리고 더 효율적인 응용분야가 있습니다. 우리가 해결해야 하는 문제와 범위에 대해 잘 이해하고 있다면 어떤 최적화법이 더 나은 결과를 도출할 수 있는지 이야기 해볼 수 있습니다.